10139. Дана окружность радиуса R
. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна R
, касаются её изнутри. Докажите, что прямая, проведённая через точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.
Решение. Пусть O
— центр внешней окружности, O_{1}
и O_{2}
— центры внутренних окружностей, A
и B
— точки касания.
Проведём через O_{1}
прямую, параллельную OB
, а через O_{2}
— прямую, параллельную OA
. Поскольку O_{1}O=O_{2}B
и O_{2}O=O_{1}A
, то по теореме о пропорциональных отрезках эти прямые пересекутся в точке C
, лежащей на отрезке AB
. При этом O_{1}C=O_{1}A
и O_{2}C=O_{2}B
, следовательно, точка C
принадлежит обеим внутренним окружностям.