1014. Свойство равнобедренного треугольника. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой.
Указание. Докажите, что указанная медиана разбивает равнобедренный треугольник на два равных треугольника.
Решение. Пусть BM
— медиана равнобедренного треугольника ABC
с основанием AC
. Поскольку треугольники ABM
и CBM
равны по двум сторонам и углу между ними (углы при основании равнобедренного треугольника равны), то \angle CBM=\angle ABM
. Поэтому BM
— биссектриса. Кроме того,
\angle BMA=\angle BMC,~\angle BMA+BMC=180^{\circ}.
Поэтому \angle BMA=\angle BMC=90^{\circ}
. Следовательно, BM
— высота.