10141. Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника ABC
, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.
Ответ. 1:1
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, H
— точка пересечения высот. Указанная прямая проходит через центр I
вписанной окружности треугольника (см. задачу 4784). Эта прямая содержит не более одной вершины треугольника. Пусть она не проходит через вершины A
и B
. Поскольку AI
и BI
— биссектрисы углов HAO
и HBO
(см. задачу 20), получаем, что
AH:AO=HI:IO=BH:BO
(см. задачу 1509), а так как AO=BO
, то AH=BH
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный, поэтому указанная прямая проходит через вершину C
. Следовательно, искомое отношение равно 1:1
.