10147. В трапеции ABCD
с основаниями AD
и BC
точки P
и Q
— середины диагоналей AC
и BD
соответственно. Докажите, что если \angle DAQ=\angle CAB
, то \angle PBA=\angle DBC
.
Решение. Пусть L
и M
— середины соответственно AB
и AD
. Тогда, так как PL\parallel AD
и QM\parallel AB
, то
\angle AQM=\angle QAB=\angle CAD=\angle APL,
поэтому треугольники APL
и AMQ
подобны по двум углам. Следовательно,
AP:AQ=AL:AM=AB:AD.
Значит, треугольники ABP
и ADQ
подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
\angle ABP=\angle ADQ=\angle CBD.