10148. В остроугольном треугольнике отметили отличные от вершин точки пересечения описанной окружности с прямыми, содержащими высоты, проведённые из двух вершин, и биссектрисой, проведённой из третьей вершины, после чего сам треугольник стёрли. Восстановите его.
Решение. Пусть описанная окружность пересекает биссектрису угла C
треугольника ABC
в точке C_{0}
, а продолжения высот, проведённых из вершин A
и B
— в точках A_{1}
и B_{1}
. Поскольку
\angle A_{1}AC=\angle B_{1}BC=90^{\circ}-\angle ACB,
точка C
— середина дуги A_{1}B_{1}
, не содержащей точки C_{0}
. Если C_{1}
— точка пересечения описанной окружности с продолжением третьей высоты, то аналогично докажем, что A
и B
— середины соответствующих дуг B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
.
Точка C_{0}
— середина дуги AB
, поэтому прямая OC_{0}
— серединный перпендикуляр к отрезку AB
, и значит, параллельна высоте, проведённой из вершины C
.
Отсюда вытекает следующее построение. Опишем окружность около треугольника A_{1}B_{1}C_{0}
. Пусть O
— её центр. Построим середину C
дуги A_{1}B_{1}
, не содержащей точки C_{0}
. Через точку C
проведём прямую, параллельную OC_{0}
. Пусть C_{1}
— отличная от C
точка пересечения этой прямой с описанной окружностью треугольника A_{1}B_{1}C_{0}
. Точки A
и B
строим как середины дуг B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
.
Докажем, что треугольник ABC
удовлетворяет условию задачи. Действительно, точки A
, B
и C
— середины соответствующих дуг описанной окружности треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, значит, AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
— высоты треугольника ABC
(см. задачу 33). Точка C_{0}
— середина дуги AB
, не содержащей точки C
, так как OC_{0}\parallel CC_{1}
, а CC_{1}\perp AB
. Следовательно, CC_{0}
— биссектриса угла ACB
. Что и требовалось доказать.