10150. В прямоугольную трапецию ABCD
с прямым углом при вершине A
и острым углом при вершине D
вписана окружность с центром O
. Прямая DO
пересекает сторону AB
в точке M
, а прямая CO
пересекает сторону AD
в точке K
.
а) Докажите, что \angle AMO=\angle DKO
.
б) Найдите площадь треугольника AOM
, если BC=5
и AD=20
.
Ответ. 10.
Решение. а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому CO
и DO
— биссектрисы углов BCD
и ADC
, а так как сумма этих углов равна 180^{\circ}
, то \angle OCD+\angle ODC=90^{\circ}
. Значит, \angle COD=90^{\circ}
.
Биссектриса DO
треугольника CDK
является его высотой, поэтому треугольник CDK
равнобедренный. Следовательно,
\angle DKO=\angle OCD=90^{\circ}-\angle ODC=90^{\circ}-\angle ADM=\angle AMD=\angle AMO.
б) Пусть окружность радиуса R
, вписанная в трапецию, касается её сторон BC
, CD
, AD
и AB
в точках F
, G
, H
и P
. соответственно. Тогда
CG=CF=BC-BF=5-R,~DG=DH=AD-AH=20-R,
а так как OG
— высота прямоугольного треугольника COD
, проведённая из вершины прямого угла, то OG^{2}=CG\cdot DG
(см. задачу 2728), или R^{2}=(5-R)(20-R)
. Отсюда находим, что R=4
.
Прямоугольные треугольники MPO
и CFO
равны по катету (OP=OF=R
) и противолежащему острому углу (\angle OMP=\angle OCF
), значит, MP=CF
. Тогда
AM=AP+MP=BF+CF=BC=5.
Следовательно,
S_{\triangle AOM}=\frac{1}{2}AM\cdot OP=\frac{1}{2}\cdot5\cdot4=10.