10151. В шестиугольнике ABCDEF
известно, что AB=BC
, CD=DE
, EF=FA
и \angle A=\angle C=\angle E
. Докажите, что диагонали шестиугольника, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в одной точке.
Решение. Из условия следует, что биссектрисы углов B
, D
и F
являются серединными перпендикулярами к отрезкам AC
, CE
и EA
, значит, эти биссектрисы пересекаются в центре O
описанной окружности треугольника ACE
. Из осевых симметрий относительно прямых BO
, DO
и FO
следуют равенства
\angle BAO=\angle BCO,~\angle DCO=\angle DEO,~\angle FAO=\angle FEO.
Кроме того,
\angle BAO+\angle FAO=\angle A=\angle C=\angle BCO+\angle DCO,
значит, \angle FAO=\angle DCO
.
Аналогично, \angle BCO=\angle FEO
, значит, эти шесть углов между собой равны. Следовательно, AO
, CO
и EO
— также являются биссектрисами углов данного шестиугольника, т. е. O
— центр вписанной в него окружности. По теореме Брианшона (см. задачу 6394) диагонали, соединяющие противоположные вершины этого шестиугольника, пересекаются в одной точке.