10157. На плоскости даны две концентрические окружности с центром в точке A
. Пусть B
— произвольная точка одной из этих окружностей, C
— другой. Для каждого треугольника ABC
рассмотрим две окружности одинакового радиуса, касающиеся друг друга в точке K
, причём одна окружность касается прямой AB
в точке B
, а другая — прямой AC
в точке C
. Найдите геометрическое место точек K
.
Ответ. Окружность с центром A
радиуса \sqrt{\frac{R_{1}^{2}+R_{2}^{2}}{2}}
, где R_{1}
и R_{2}
— радиусы данных концентрических окружностей.
Решение. Пусть M
и N
— центры касающихся окружностей радиуса r
. Тогда K
— середина отрезка MN
,
\angle ABM=\angle ACN=90^{\circ},~BM=MK=KN=NC=r.
По формуле для квадрата медианы треугольника (см. задачу 4014)
AK^{2}=\frac{2AM^{2}+2AN^{2}-MN^{2}}{4}=\frac{2(AB^{2}+BM^{2})+2(AC^{2}+CN^{2})-4MK^{2}}{4}=
=\frac{2AB^{2}+2r^{2}+2AC^{2}+2r^{2}-4r^{2}}{4}=\frac{AB^{2}+AC^{2}}{2}.
Таким образом, AK
не зависит от выбора точек B
и C
на данных окружностях. Следовательно, точка K
лежит на окружности с центром A
.
Вращая треугольник ABC
вокруг точки A
, можно получить любую точку этой окружности.