10163. Пусть A_{1}A_{2}\ldots A_{2n+1}
— правильный многоугольник с нечётным числом сторон, M
— произвольная точка на дуге A_{1}A_{2n+1}
окружности S
, описанной около многоугольника, l_{i}
— длина касательной, проведённой из точки M
к окружности радиуса r
, касающейся S
в точке A_{i}
, причём все касания одновременно внешние или внутренние. Докажите, что сумма l_{i}
с нечётными номерами равна сумме l_{i}
с чётными номерами.
Указание. См. задачи 4786 и 4791.
Решение. Рассмотрим правильный пятиугольник A_{1}A_{2}\dots A_{2n+1}
. Пусть точка M
принадлежит дуге A_{1}A_{2n+1}
его описанной окружности S
. Обозначим
MA_{1}=d_{1},~MA_{2}=d_{2},\dots,~MA_{2n+1}=d_{2n+1}.
Тогда
d_{1}+d_{3}+\dots+d_{2n+1}=d_{2}+d_{4}+\dots+d_{2n}
(см. задачу 4786).
Пусть все окружности радиуса r
, о которых говорится в условии, касаются окружности S
радиуса R
внешним образом. Тогда l_{i}=d_{i}\sqrt{1+\frac{r}{R}}
(см. задачу 4791). Следовательно,
l_{1}+l_{3}+\dots+l_{2n+1}=d_{1}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+d_{3}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+\dots+d_{2n+1}\sqrt{1+\frac{r}{R}}=
=\sqrt{1+\frac{r}{R}}(d_{1}+d_{3}+\dots+d_{2n+1})=\sqrt{1+\frac{r}{R}}(d_{2}+d_{4}+\dots+d_{2n})=
=d_{2}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+d_{4}\sqrt{1+\frac{r}{R}}+\dots+d_{2n}\sqrt{1+\frac{r}{R}}=l_{2}+l_{4}+\dots+l_{2n}.
Если все окружности радиуса r
, о которых говорится в условии, касаются окружности S
внутренним образом и r\lt R
, то l_{i}=d_{i}\sqrt{1-\frac{r}{R}}
(см. задачу 4791). Остальное аналогично.