10164. Пусть a
, b
, c
— длины сторон произвольного треугольника; p
— полупериметр; r
— радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geqslant6r.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника, R
— радиус описанной окружности. Применив неравенство Коши, получаем, что
\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}+\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}+\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}\geqslant
\geqslant3\sqrt[{3}]{{\sqrt{\frac{ab(p-c)}{p}}\cdot\sqrt{\frac{ac(p-b)}{p}}\cdot\sqrt{\frac{bc(p-a)}{p}}}}=
=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc\cdot S}{p^{2}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{4S}\cdot\frac{4S^{2}}{p^{2}}}}=3\sqrt[{3}]{{\frac{abc}{4S}\cdot4\left(\frac{S}{p}\right)^{2}}}=
=3\sqrt[{3}]{{4Rr^{2}}}\geqslant3\sqrt[{3}]{{8r\cdot r^{2}}}=6r
(см. задачи 2730, 4259, 452 и 3587).