10165. Радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC
равны R
и r
соответственно; O
и I
— центры этих окружностей. Биссектриса внешнего угла при вершине C
пересекает прямую AB
в точке P
. Точка Q
— проекция точки P
на прямую OI
. Найдите расстояние OQ
.
Ответ. \frac{R(R+r)}{\sqrt{R^{2}-2rR}}
.
Решение. Пусть A'
, B'
, C'
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Тогда треугольник A'B'C'
остроугольный (см. задачу 4770), A'A
, B'B
и C'C
— его высоты (углы A'BB'
, A'CC'
и B'AA'
прямые как углы между биссектрисами смежных углов), I
— ортоцентр треугольника A'B'C'
, а так как A
, B
и C
— основания его высот, то описанная окружность \Omega
треугольника ABC
является окружностью девяти точек треугольника A'B'C'
(см. задачу 174). Следовательно, радиус описанной окружности \Omega'
треугольника A'B'C'
равен 2R
.
Пусть O'
— центр описанной окружности треугольника A'B'C'
. Тогда центр O
окружности девяти точек треугольника A'B'C'
— середина отрезка O'I
. Кроме того, из точек A
и B
отрезок A'B'
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности \Omega ''
диаметром A'B'
.
Отрезок AB
является общей хордой окружностей \Omega
и \Omega ''
, а отрезок A'B'
— общей хордой окружностей \Omega ''
и \Omega'
. Значит, прямая AB
— радикальная ось окружностей \Omega
и \Omega ''
, а прямая A'B'
— радикальная ось окружностей \Omega ''
и \Omega'
(см. задачу 6391). Точка P
пересечения этих прямых — радикальный центр окружностей \Omega
, \Omega'
и \Omega ''
(см. задачу 6393), а прямая PQ
— радикальная ось окружностей \Omega
и \Omega'
(так как проходит через радикальный центр P
перпендикулярно линии центров OO'
окружностей \Omega
и \Omega'
). Следовательно,
OQ^{2}-R^{2}=O'Q^{2}-4R^{2},~\mbox{или}~OQ^{2}-R^{2}=(OQ+OO')^{2}-4R^{2}.
Поскольку O'O^{2}=OI^{2}=R^{2}-2Rr
(см. задачу 126), после очевидных преобразований получаем, что
OQ=\frac{R(R+r)}{\sqrt{R^{2}-2rR}}.