10167. Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей — вписанные четырёхугольники, причём радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть — четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
Решение. Пусть части, прилегающие к вершинам A
, B
и C
вписанного четырёхугольника ABCD
, — вписанные четырёхугольники. Поскольку углы A
и C
четырёхугольника противолежат равным углам в точке разреза L
, они равны, а значит, они прямые. Поэтому прямые, разрезающие четырёхугольник, перпендикулярны. Тогда углы B
и D
тоже прямые, т. е. ABCD
— прямоугольник, а четвёртая часть тоже является вписанным четырёхугольником. Кроме того, углы, опирающиеся на хорды AL
, BL
и CL
, равны, а так как радиусы этих окружностей тоже равны, то равны и сами хорды. Следовательно, L
— центр прямоугольника, и четвёртая окружность имеет тот же радиус.