1018. Свойство равнобедренного треугольника. Докажите, что биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, является медианой и высотой.
Указание. Примените один из признаков равенства треугольников.
Решение. Пусть CM
— биссектриса равнобедренного треугольника ABC
, в котором AB
— основание. Тогда треугольники ACM
и BCM
равны по двум сторонам (AC=CB
, CM
— общая) и углу между ними. Поэтому AM=BM
, т. е. CM
— медиана, и \angle AMC=\angle BMC
.
Поскольку \angle AMC+\angle BMC=180^{\circ}
, то \angle AMC=\angle BMC=90^{\circ}
. Следовательно, CM
— высота.