10188. Внутри треугольника ABC
взята такая точка D
, что BD=CD
и \angle BDC=120^{\circ}
. Вне треугольника ABC
взята такая точка E
, что AE=CE
и \angle AEC=60^{\circ}
и точки B
и E
находятся в разных полуплоскостях относительно AC
. Докажите, что \angle AED=90^{\circ}
, где F
— середина BE
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что вершины A
, B
, C
треугольника ABC
расположены в указанном порядке по часовой стрелке. Пусть K
и L
— середины отрезков BC
и CE
соответственно. Тогда
\angle DKC=\angle CLA=90^{\circ},~\angle CDK=\angle ACL=60^{\circ}.
Следовательно,
\frac{CK}{DK}=\frac{AL}{CL}=\tg60^{\circ}=\sqrt{3}.
Если вектор \overrightarrow{DK}
повернуть на 90^{\circ}
против часовой стрелки, а затем умножить его на \sqrt{3}
, то получится вектор, равный вектору \overrightarrow{CK}
. Аналогично, если вектор \overrightarrow{CL}
повернуть на 90^{\circ}
против часовой стрелки, а затем умножить его на \sqrt{3}
, то получится вектор, равный вектору \overrightarrow{AL}
.
По теореме о средней линии треугольника \overrightarrow{CK}=\overrightarrow{LF}
и \overrightarrow{KF}=\overrightarrow{CL}
, поэтому при повороте на 90^{\circ}
против часовой стрелки и последующем умножении на \sqrt{3}
вектор \overrightarrow{DK}
перейдёт в равный вектору \overrightarrow{LF}
, вектор \overrightarrow{KF}
— в равный вектору \overrightarrow{AL}
. Следовательно, вектор \overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DK}+\overrightarrow{KF}
при таком преобразовании перейдёт в равный вектору \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AL}+\overrightarrow{LF}
. Значит, векторы \overrightarrow{DF}
и \overrightarrow{AF}
перпендикулярны, т. е. \angle AFD=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.