10200. В треугольнике ABC
точки M
и N
— середины сторон AC
и AB
соответственно. На медиане BM
выбрана точка P
, не лежащая на CN
. Оказалось, что PC=2PN
. Докажите, что AP=BC
.
Решение. Первый способ. Построим параллелограмм AKBP
(рис. 1). Его диагонали делятся точкой пересечения пополам, т. е. пересекаются в точке N
, и PK=2PN=PC
.
Пусть прямые MB
и CK
пересекаются в точке T
. Поскольку MT\parallel AK
, то MT
— средняя линия треугольника AKC
. Значит, KT=TC
, а PT
— медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника KPC
. Тогда PT\perp CK
. Значит, BT
— медиана и высота треугольника BKC
. Следовательно, AP=BK=BC
.
Второй способ. Обозначим через G
точку пересечения медиан треугольника ABC
(рис. 2). Тогда CG:GN=2=CP:PN
. Значит, PG
— биссектриса угла CPN
. Следовательно, \angle BPN=\angle BPC
.
Пусть X
— середина PC
. Тогда треугольники NPM
и XPM
равны по двум сторонам и углу между ними. Равные отрезки XM
и NM
являются средними линиями в треугольниках APC
и ABC
, значит,
AP=2XM=2NM=BC.
Третий способ. Рассмотрим такую точку Q
, что P
— середина AQ
(рис. 3). Тогда MP
— средняя линия треугольника CAQ
, NP
— средняя линия треугольника BAQ
. Значит, BQCP
— равнобочная трапеция (BQ
параллельна NP
, поэтому не параллельна PC
). Её диагонали BC
и PQ
равны, а PQ=AP
.