10205. Пусть M
— внутренняя точка равностороннего треугольника ABC
. Существует ли треугольник, стороны которого равны отрезкам MA
, MB
и MC
, а вершины лежат на сторонах данного равностороннего треугольника?
Ответ. Существует.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно AC
, пересекает сторону AB
в точке K
, прямая, проходящая через точку M
параллельно BC
, пересекает сторону AC
в точке N
, а прямая, проходящая через точку M
параллельно AB
, пересекает сторону BC
в точке F
. Тогда AKMN
, BKMF
и CNMF
— равнобедренные трапеции, поэтому KN=MA
, KF=MB
и NF=MC
(см. задачу 1914). Следовательно, треугольник KNF
— искомый.