10214. На окружности с центром O
отмечены точки A
и B
. Две другие окружности лежат внутри данной, касаются её в точках A
и B
, а также касаются друг друга в точке M
. Найдите геометрическое место точек M
.
Ответ. Внутренние точки дуги окружности с концами в точках A
и B
и центром точке C
пересечения касательных к большей окружности в точках A
и B
.
Решение. Пусть \Omega
— данная окружность, \omega_{A}
и \omega_{B}
— окружности, касающиеся \Omega
в точках A
и B
соответственно и касающиеся между собой в точке M
.
Общая касательная касающихся окружностей, проведённая через точку касания, есть радикальная ось этих окружностей (см. задачу 6391), а радикальные оси трёх окружностей, центры которых не лежат на одной прямой, пересекаются в одной точке — радикальном центре этих окружностей (см. задачу 6393). Значит, общие касательные к \Omega
и \omega_{A}
, \Omega
и \omega_{B}
, \omega_{A}
и \omega_{B}
, проведённые в точках соответственно A
, B
и M
пересекаются в некоторой точке C
. Тогда CA=CB=CM
, поэтому M
— внутренняя точка дуги AB
окружности с центром C
и радиусом CA
.
Пусть теперь M
— произвольная внутренняя точка этой дуги. Проведём через эту точку прямую, перпендикулярную CM
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— точки пересечения этой прямой с радиусами OA
и OB
соответственно. Тогда окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
радиусов O_{1}M
и O_{2}M
касаются окружности \Omega
в точках A
и B
соответственно, а также касаются между собой в точке M
.