10229. В треугольнике ABC
проведена высота AD
, точки P
и Q
— середины двух других высот, H
— ортоцентр (точка пересечения высот), E
— середина стороны BC
. Докажите, что точки D
, H
, P
, Q
и E
лежат на одной окружности.
Решение. Пусть P
— середина высоты BB_{1}
треугольника ABC
. Тогда EP
— средняя линия прямоугольного треугольника BB_{1}C
, поэтому PE\perp PH
. Аналогично QE\perp QH
, где Q
— середина высоты CC_{1}
. Таким образом, из точек D
, P
и Q
отрезок EH
виден под прямым углом. Значит, эти точки лежат на окружности с диаметром EH
. Следовательно, точки D
, H
, P
, Q
и E
лежат на одной окружности.