10239. Около единичного квадрата ABCD
описана окружность, на которой выбрана точка M
. Какое наибольшее значение может принимать произведение MA\cdot MB\cdot MC\cdot MD
?
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Пусть точка M
не совпадает ни с одной из вершин квадрата (иначе, значение произведения равно нулю и не может быть наибольшим) и лежит на меньшей дуге BC
, O
— центр окружности. Заметим, что
\angle AMB=\frac{1}{2}\angle AOB=45^{\circ}.
Из равенства S_{\triangle AMB}=\frac{1}{2}MA\cdot MB\sin\angle AMB
получаем, что
MA\cdot MB=\frac{2S_{\triangle AMB}}{\sin\angle AMB}=\frac{2S_{\triangle AMB}}{\sin45^{\circ}}=2\sqrt{2}S_{\triangle AMB}.
Аналогично MC\cdot MD=2\sqrt{2}S_{\triangle CMD}
. Значит,
MA\cdot MB\cdot MC\cdot MD=8S_{\triangle AMB}\cdot S_{\triangle CMD}.
Обозначим через x
расстояние от точки M
до прямой AB
. Тогда расстояние от M
до прямой CD
равно 1-x
, и
S_{\triangle AMB}=\frac{1}{2}AB\cdot x=\frac{1}{2}x,~S_{\triangle CMD}=\frac{1}{2}CD\cdot(1-x)=\frac{1}{2}(1-x).
Таким образом,
MA\cdot MB\cdot MC\cdot MD=8\cdot\frac{1}{2}x\cdot\frac{1}{2}(1-x)=2x(1-x).
Поскольку 0\lt x\lt1
, полученное выражение принимает наибольшее значение при x=\frac{1}{2}
(экстремум квадратичной функции или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим). Это значение равно \frac{1}{2}
.
Искомое наибольшее значение достигается, если M
— середина любой из четырёх дуг, стягиваемых сторонами квадрата.