10241. На сторонах BC
и AC
правильного треугольника ABC
отмечены точки X
и Y
соответственно. Докажите, что из отрезков AX
, BY
и XY
можно составить треугольник.
Решение. Первый способ. Заметим, что хотя бы один из углов CYX
или CXY
— острый, поэтому хотя бы один из углов XYA
или YXB
будет тупым. Значит, XY\lt AX
или XY\lt BY
, т. е. XY
— не наибольший среди трёх данных отрезков (рис. 1).
Если BY\geqslant AX
, то достроим данный треугольник до ромба ABDC
, отразив его относительно стороны BC
. Тогда
AX+XY=DX+XY\gt DY\gt BY,
так как в треугольнике BYD
\angle DBY\gt60^{\circ}\gt\angle BDY.
Если BY\lt AX
, то проводим аналогичное рассуждение, используя симметрию относительно AC
. Таким образом, в любом случае из трёх данных отрезков можно составить треугольник.
Второй способ. Рассмотрим правильный тетраэдр PABC
, основанием которого является данный треугольник (рис. 2). Тогда
PX=AX,~PY=BY,
следовательно, треугольник PXY
— искомый.