10257. Длина каждой из сторон выпуклого шестиугольника ABCDEF
меньше 1. Может ли длина каждой из диагоналей AD
, BE
и CF
быть не меньше 2?
Ответ. Не может.
Решение. Докажем, что длина хотя бы одной из этих диагоналей меньше 2. Рассмотрим треугольник ACE
. Без ограничения общности можно считать, что AE\leqslant AC\leqslant CE
.
Для четырёхугольника ACDE
запишем неравенство Птолемея (см. третий способ решения задачи 130):
AD\cdot CE\leqslant AC\cdot DE+AE\cdot CD.
Разделим обе части этого неравенства на CE
и используем, что
CD\lt1,~DE\lt1,~AE\leqslant CE,~AC\leqslant CE.
Получим, что
AD\leqslant\frac{AC}{CE}\cdot DE+\frac{AE}{CE}\cdot CD\lt1+1=2.
Примечание. Доказательство неравенства Птолемея можно посмотреть также в книгах:
Я.П. Понарин. Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004, стр. 86.
В.В. Прасолов. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2007, N9.70.