10260. Биссектрисы углов треугольника ABC
пересекают стороны BC
, CA
и AB
в точках P
, Q
и R
соответственно; P_{1}
— точка пересечения прямой, проходящей через точку P
параллельно AB
, со стороной CA
. Аналогично определяются точки Q_{1}
и R_{1}
. Найдите сумму \frac{1}{PP_{1}}+\frac{1}{QQ_{1}}+\frac{1}{RR_{1}}
, если стороны исходного треугольника равны a
, b
и c
.
Ответ. 2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)
.
Решение. Пусть BC=a
, CA=b
и AB=c
. Из подобия треугольников ABC
и P_{1}PC
следует, что \frac{PP_{1}}{AB}=\frac{PC}{BC}
, значит (см. задачу 1509),
PP_{1}=PC\cdot\frac{AB}{BC}=\frac{ab}{b+c}\cdot\frac{c}{a}=\frac{bc}{b+c}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}.
Аналогично
QQ_{1}=\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}},~RR_{1}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}.
Следовательно,
\frac{1}{PP_{1}}+\frac{1}{QQ_{1}}+\frac{1}{RR_{1}}=\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{b}}}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{c}+\frac{1}{a}}}+\frac{1}{\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}}=
=\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).