10262. Три высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке H
, которая делит одну из высот пополам, а другую — в отношении 2:1
, считая от вершины. В каком отношении точка H
делит третью высоту?
Ответ. 5:1
.
Решение. Первый способ. Пусть ABC
— данный треугольник; AD
, BE
и CF
— его высоты, BH=HE=x
, HF=y
, CH=2y
.
Из точек E
и F
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки E
, F
, B
и C
лежат на одной окружности (с диаметром BC
). Тогда BH\cdot HE=CH\cdot HF
(см. задачу 2627), или x^{2}=2y^{2}
, откуда x=y\sqrt{2}
. Это означает, что треугольники BHF
и CHE
прямоугольные и равнобедренные, поэтому CE=x
и BF=y
. При этом, так как \angle ABE=45^{\circ}
, то AE=BE=2x
. Следовательно,
AH=\sqrt{AE^{2}+HE^{2}}=x\sqrt{5}.
Прямоугольные треугольники ADC
и AEH
подобны, поэтому \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AH}
. Следовательно,
AD=\frac{AC\cdot AE}{AH}=\frac{2x\cdot3x}{x\sqrt{5}}=\frac{6x\sqrt{5}}{5}.
Таким образом,
\frac{AH}{AD}=\frac{x\sqrt{5}}{\frac{6x\sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{6},
значит, \frac{AH}{DH}=\frac{5}{1}
.
Второй способ. Пусть ABC
— данный треугольник; AD
, BE
и CF
— его высоты, \frac{BH}{HE}=1
, \frac{HF}{CH}=\frac{1}{2}
. Тогда \frac{HE}{BE}=\frac{1}{2}
, \frac{HF}{CF}=\frac{1}{3}
.
По теореме Жергона (см. задачу 1664)
\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1,
откуда находим, что
\frac{HD}{AD}=1-\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.
Следовательно, \frac{AH}{HD}=\frac{5}{1}
.
Третий способ. Вычислив отношения, в которых точки E
и F
делят стороны AC
и AB
, можно было также воспользоваться теоремой Ван-Обеля (см. задачу 1663), которая в данном случае записывается так:
\frac{AF}{FB}+\frac{AE}{EC}=\frac{AH}{HD}.