1028. Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины.
Указание. Отложите на продолжении медианы каждого треугольника отрезок, равный медиане.
Решение. Пусть BM
и B_{1}M_{1}
— медианы треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
, AB=A_{1}B_{1}
, BM=B_{1}M_{1}
, BC=B_{1}C_{1}
.
Отложим на продолжениях медиан BM
и B_{1}M_{1}
за точки M
и M_{1}
отрезки MP
и M_{1}P_{1}
, равные соответственно BM
и B_{1}M_{1}
Тогда из равенства треугольников PMC
и BMA
следует, что PC=AB
, а из равенства треугольников P_{1}M_{1}C_{1}
и B_{1}M_{1}A_{1}
— P_{1}C_{1}=A_{1}B_{1}
. Поэтому треугольники PBC
и P_{1}B_{1}C_{1}
равны.
Следовательно, \angle MBC=\angle M_{1}B_{1}C_{1}
. Значит, треугольники MBC
и M_{1}B_{1}C_{1}
равны. Поэтому MC=M_{1}C_{1}
и AC=A_{1}C_{1}
. Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны по трём сторонам.