10280. Четвёртый признак равенства треугольников. Если стороны AB
, BC
и угол A
треугольника ABC
соответственно равны сторонам A_{1}B_{1}
, B_{1}C_{1}
и углу A_{1}
треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
, то треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
либо равны, либо не равны и тогда \angle C+\angle C_{1}=180^{\circ}
.
Решение. Переформулируем утверждение в следующем виде. По двум сторонам a
и b
и углу \alpha
напротив стороны a
можно построить не более двух различных треугольников. Если существуют два неравных треугольника с такими данными, то сумма их углов, лежащих на против сторон, равных b
, равна 180^{\circ}
.
Действительно, возьмём угол XAY
, равный \alpha
, и отложим на стороне AX
отрезок AC=b
. Третьи вершины искомых треугольников находятся на пересечении луча AY
и окружности радиуса a
с центром C
. Таких точек не больше двух. Если их ровно две — B_{1}
и B_{2}
— то треугольник CB_{1}B_{2}
равнобедренный.
Пусть AB_{2}\gt AB_{1}
. Тогда
\angle CB_{1}A+\angle CB_{2}A=\angle CB_{1}A+\angle CB_{1}B_{2}=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью А.Егорова «Четвёртый признак равенства треугольников», Квант, 2004, N5, с.41.