10284. Какое наименьшее значение может принимать периметр неравнобедренного треугольника с целыми длинами сторон?
Ответ. 9.
Решение. Пусть a
, b
и c
— целые длины сторон треугольника и a\gt b\gt c
.
Первый способ. Заметим, что a\geqslant3
(так как a\gt b\gt c
). Если a=3
, то b=2
, c=1
, что невозможно, так как в этом случае не выполняется неравенство треугольника (a\lt b+c
).
Если a=4
, то b+c\gt4
, значит, b=3
и c=2
, а периметр треугольника равен 9.
Если a\gt4
, то b+c\gt5
, т. е. периметр треугольника не меньше, чем 11.
Второй способ. Запишем неравенство треугольника в виде c\gt a-b
. Поскольку a
и b
— различные натуральные числа, c\geqslant2
, значит, b\geqslant3
и a\geqslant4
. Следовательно, a+b+c\geqslant9
. Равенство достигается для треугольника со сторонам 2, 3 и 4.