10289. В остроугольном треугольнике ABC
угол B
равен 45^{\circ}
, AM
и CN
— его высоты, O
— центр описанной окружности, H
— ортоцентр (точка пересечения высот). Докажите, что ONHM
— параллелограмм.
Решение. Серединные перпендикуляры к сторонам AB
и BC
данного треугольника, пересекаются в точке O
(рис. 1). В прямоугольном треугольнике BNC
известно, что \angle NBC=45^{\circ}
, поэтому BN=NC
. Значит, точка N
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
. Тогда NO\parallel HM
. Аналогично, рассмотрев прямоугольный равнобедренный треугольник AMB
, получим, что MO\parallel HN
. Следовательно, ONHM
— параллелограмм.