10290. В треугольнике ABC
медиана BM
равна стороне AC
. На продолжениях сторон BA
и AC
за точки A
и C
выбраны точки D
и E
соответственно, причём AD=AB
и CE=CM
. Докажите, что прямые DM
и BE
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Пусть F
— середина отрезка BM
(рис. 1). Из условия задачи следует, что MF=MA=MC
, значит, \angle AFC=90^{\circ}
(см. задачу 1188). Кроме того, из условия следует, что AF
— средняя линия треугольника DBM
, а CF
— средняя линия треугольника BME
. Значит, DM\parallel AF
и BE\parallel CF
. Следовательно, DM\perp BE
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямая DM
пересекает прямую BC
в точке P
, а прямую BE
— в точке H
(рис. 2).
Из условия задачи следует, что BM=EM
, поэтому, треугольник BME
равнобедренный, и утверждение задачи равносильно тому, что MH
— медиана треугольника BME
. Докажем это.
Пусть Q
— середина отрезка BP
. Тогда AQ
— средняя линия треугольника DBP
, значит, AQ\parallel PM
. Поскольку M
— середина AC
, отрезок MP
— средняя линия треугольника AQC
, т. е. PQ=CP
. Таким образом, BP:CP=2:1
. Точка P
делит медиану BC
треугольника MBE
в отношении 2:1
, считая от вершины B
, значит, P
— точка пересечения медиан этого треугольника. Следовательно, MH
— также медиана треугольника BME
. Что и требовалось доказать.