1030. Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника.
Указание. На продолжениях указанных медиан отложите отрезки, равные медианам.
Решение. Пусть BM
и B_{1}M_{1}
— медианы треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
,
BM=B_{1}M_{1},~\angle ABM=\angle A_{1}B_{1}M_{1},~\angle CBM=\angle C_{1}B_{1}M_{1}.
Отложим на продолжениях медиан BM
и B_{1}M_{1}
за точки M
и M_{1}
отрезки MP
и M_{1}P_{1}
, равные BM
и B_{1}M_{1}
соответственно. Тогда треугольники CMP
и AMB
равны (по двум сторонам и углу между ними). Аналогично равны треугольники C_{1}M_{1}P_{1}
и A_{1}M_{1}B_{1}
. Следовательно,
\angle BPC=\angle ABM,~\angle B_{1}P_{1}C_{1}=\angle A_{1}B_{1}M_{1},~AB=PC,~A_{1}B_{1}=P_{1}C_{1}.
Поэтому треугольники BCP
и B_{1}C_{1}P_{1}
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда
BC=B_{1}C_{1}~\mbox{и}~AB=PC=P_{1}C_{1}=A_{1}B_{1}.
Следовательно, треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними.