10303. На стороне AB
треугольника ABC
отмечены точки D
и E
, причём AD=BE
; на стороне BC
— точки K
и L
, причём BK=CL
; на стороне AC
— точки M
и N
, причём CM=AN
. Докажите, что прямые, содержащие диагонали AP
, BQ
и CR
параллелограммов ADPN
, BKQE
и CLRM
пересекаются в одной точке.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Обозначим AD=BE=x
, BK=CL=y
, CM=AN=z
. По теореме синусов
\frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle PAD}=\frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle NPA}=\frac{PN}{AN}=\frac{AD}{AN}=\frac{x}{z}.
Аналогично
\frac{\sin\angle EBQ}{\sin\angle QBK}=\frac{y}{x},~\frac{\sin\angle LCR}{\sin\angle MCR}=\frac{z}{y}.
Значит,
\frac{\sin\angle NAP}{\sin\angle NPA}\cdot\frac{\sin\angle EBQ}{\sin\angle QBK}\cdot\frac{\sin\angle LCR}{\sin\angle MCR}=\frac{x}{z}\cdot\frac{y}{x}\cdot\frac{z}{y}=1.
Следовательно, по теореме Чевы (в тригонометрической форме, см. задачу 1900) прямые AP
, BQ
и CR
пересекаются в одной точке.
Аналогично для остальных случаев расположения точек на сторонах треугольника ABC
.