10304. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
; H_{B}
и H_{C}
— ортоцентры треугольников ACI
и ABI
соответственно; K
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
. Докажите, что точки H_{B}
, H_{C}
и K
лежат на одной прямой.
Решение. Прямые BH_{B}
и CH_{C}
перпендикулярны прямой AI
, поэтому они параллельны. Значит, четырёхугольник BH_{B}CH_{C}
— трапеция, и её диагонали делят друг друга в отношении BH_{B}:CH_{C}
.
Проекции M
и N
точек H_{B}
и H_{C}
на прямые соответственно AB
и AC
совпадают с проекциями на эти прямые центра I
, поэтому BM=BK
и CN=CK
. Кроме того, так как
\angle H_{B}BM=\angle H_{C}CN=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle A,
то прямоугольные треугольники H_{B}BM
и H_{C}CN
подобны. Значит, BH_{B}:CH_{C}=BK:CK
. Следовательно, точка пересечения диагоналей трапеции совпадает с K
.