10320. В четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle B=\angle D=90^{\circ}
и AC=BC+DC
. Точка P
на луче BD
такова, что BP=AD
. Докажите, что прямая CP
параллельна биссектрисе угла ABD
.
Решение. Из условия следует, что четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с диаметром AC
. Пусть K
— такая точка на отрезке AC
, что AK=BC
. Тогда CK=CD
, поэтому \angle CKD=\angle CDK
. Кроме того, треугольники BCP
и AKD
равны, поскольку AK=BC
, AD=BP
и
\angle KAD=\angle CAD=\angle CBD=\angle CBP.
Следовательно,
\angle BCP=\angle AKP=180^{\circ}-\angle CKD=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ACD\right)=
=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ACD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABD.
С другой стороны,
\angle CBP=\angle ABC-\angle ABD=90^{\circ}-\angle ABD,
поэтому
\angle CPB=180^{\circ}-\angle BCP-\angle CBP=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABD\right)-(90^{\circ}-\angle ABD)=\frac{1}{2}\angle ABD,
что равносильно утверждению задачи