10323. В прямоугольном треугольнике ABC
из вершины прямого угла C
опущена высота CH
. В треугольники ACH
и BCH
вписали окружности; O_{1}
и O_{2}
— их центры; P_{1}
и P_{2}
— их точки касания с AC
и BC
. Докажите, что прямые O_{1}P_{1}
и O_{2}P_{2}
пересекаются на AB
.
Решение. Пусть O_{1}P_{1}
и O_{2}P_{2}
пересекают AB
в точках K_{1}
и K_{2}
. Тогда по теореме Фалеса
\frac{AK_{1}}{K_{1}B}=\frac{AP_{1}}{P_{1}C},~\frac{AK_{2}}{K_{2}B}=\frac{CP_{2}}{P_{2}B}.
Эти отношения равны в силу подобия треугольников AHC
и CHB
, следовательно, точки K_{1}
и K_{2}
совпадают.
Примечание. Из решения следует также, что точка пересечения является точкой касания вписанной в треугольник ABC
окружности с гипотенузой.