1033. Докажите равенство треугольников по углу, биссектрисе и стороне, исходящим из вершины этого угла.
Указание. Примените последовательно признаки равенства треугольников.
Решение. Пусть AD
и A_{1}D_{1}
— биссектрисы треугольников ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
,
\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1},~AD=A_{1}D_{1},~AB=A_{1}B_{1}.
Поскольку \angle BAD=\angle B_{1}A_{1}D_{1}
(как половины равных углов), то треугольники ABD
и A_{1}B_{1}D_{1}
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \angle ADB=\angle A_{1}D_{1}B_{1}
.
Отсюда следует равенство углов ADC
и A_{1}D_{1}C_{1}
. Поэтому треугольники ADC
и A_{1}D_{1}C_{1}
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Тогда AC=A_{1}C_{1}
и треугольники ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
равны по двум сторонам (AB=A_{1}B_{1}
и AC=A_{1}C_{1}
) и углу между ними (\angle BAC=\angle B_{1}A_{1}C_{1}
).