10353. Точки
E
и
F
— середины сторон
BC
и
AD
выпуклого четырёхугольника
ABCD
. Докажите, что отрезок
EF
делит диагонали
AC
и
BD
в одном и том же отношении.
Решение. Первый способ. Пусть отрезок
EF
пересекает диагональ
AC
в точке
X
, а диагональ
BD
— в точке
Y
. Проведём через вершины
A
и
D
прямые, параллельные
EF
и пересекающие прямую
BC
в точках
K
и
M
соответственно (рис. 1). По теореме Фалеса
EK=EM
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{CX}{XA}=\frac{CE}{EK}=\frac{BE}{EM}=\frac{BY}{YD}.

Что и требовалось доказать.
Второй способ. Проведём отрезки
AY
,
CY
,
BX
и
DX
(рис. 2). Так как
XF
— медиана треугольника
AXD
, то
S_{\triangle BXY}=S_{\triangle CXY}
(см. задачу 3001). Аналогично,
S_{\triangle AXY}=S_{\triangle DXY}
. Значит (см. задачу 3000),
\frac{CX}{XA}=\frac{S_{\triangle CXY}}{S_{\triangle AXY}}=\frac{S_{\triangle BXY}}{S_{\triangle DXY}}=\frac{BY}{YD}.

Что и требовалось доказать.
Третий способ. Если стороны
BC
и
AD
параллельны, то
ABCD
— трапеция, отрезок
EF
проходит через точку пересечения её диагоналей и утверждение очевидно.
Пусть прямые
BC
и
AD
пересекаются в точке
L
, прямые
AC
и
EF
— в точке
X
, прямые
BD
и
EF
— в точке
Y
(рис. 3). По теореме Менелая для треугольника
KAC
и прямой
EF
(см. задачу 1622) получаем, что
\frac{LE}{EC}\cdot\frac{CX}{XA}\cdot\frac{AF}{FL}=1.

Аналогично, для треугольника
LBD
и прямой
EF
получаем, что
\frac{LE}{EB}\cdot\frac{BY}{YD}\cdot\frac{DF}{FL}=1,

Следовательно,
\frac{LE}{EC}\cdot\frac{CX}{XA}\cdot\frac{AF}{FL}=\frac{LE}{EB}\cdot\frac{BY}{YD}\cdot\frac{DF}{FL}.

а так как
EC=ED
и
AF=DF
, то
\frac{CX}{XA}=\frac{BY}{YD}
.
Четвёртый способ. Назовём прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырёхугольника, его средней линией. Рассмотрим геометрическое место таких точек
D'
, что прямая
EF
содержит среднюю линию четырёхугольника
ABCD'
. Этим ГМТ является прямая
l
— образ прямой
EF
при гомотетии с центром в точке
A
и коэффициентом 2 (рис. 4). Поскольку
l\parallel EF
, для любой точки
D'
, принадлежащей прямой
l
, отрезки
BD
и
BD'
делятся прямой
EF
в одном и том же отношении. Так как у четырёхугольников
ABCD
и
ABCD'
диагональ
AC
и прямая, содержащая среднюю линию, — общие, а диагонали
BD
и
BD'
делятся прямой
EF
в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырёхугольников
ABCD'
. Но это утверждение очевидно для случая, когда
AD'\parallel BC
, т. е. когда
ABCD'
— трапеция.