10354. На доске была нарисована окружность с отмеченным центром, вписанный в неё четырёхугольник, и окружность, вписанная в него, также с отмеченным центром. Затем стёрли четырёхугольник (сохранив одну вершину) и вписанную окружность (сохранив её центр). Восстановите какую-нибудь из стёртых вершин четырёхугольника, пользуясь только линейкой и проведя не более шести линий.
Решение. Рассмотрим исходный чертёж: ABCD
— данный четырёхугольник; O
и Q
— центры описанной и вписанной окружностей соответственно (см. рис.).
Так как Q
— центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
, то AQ
— биссектриса угла BAD
, пересекающая описанную окружность в точке N
. Тогда равны градусные меры дуг BN
и ND
. Пусть MN
— диаметр окружности, тогда равны и градусные меры дуг BM
и MD
. Следовательно, CM
— биссектриса угла BCD
, поэтому она содержит точку Q
— центр окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD
.
Таким образом, если на чертеже сохранилась, например, вершина A
, то можно восстановить противолежащую вершину C
. Для этого достаточно провести три линии: луч AQ
пересекает описанную окружность в точке N
, луч NO
пересекает описанную окружность в точке M
и луч MQ
пересекает описанную окружность в искомой точке C
.