10355. Точка O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, M
— точка пересечения медиан. Докажите, что если прямая OM
параллельна стороне BC
, то точка O
равноудалена от середин сторон AB
и AC
.
Решение. Пусть K
и L
— середины сторон AB
и AC
; AH
— высота треугольника ABC
; A'
, B'
и C'
— точки касания вписанной окружности со сторонами; r
— радиус этой окружности.
Пусть прямая OM
пересекает высоту AH
в точке P
. Прямые MP
и BC
параллельны, поэтому
r=OA'=\frac{1}{3}AH.
Из того, что
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}BC\cdot3r~\mbox{и}~S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r
следует, что
\frac{1}{2}BC\cdot3r=\frac{1}{2}(AB+BC+AC)r,
откуда \frac{1}{2}(AB+AC)=BC
. Кроме того, BA'=BC'
и CA'=CB'
, поэтому
BC'+CB'=BA'+CA'=BC=\frac{1}{2}(AB+BC)=BK+CL.
Значит,
C'K=|BC'-BK|=|CL-CB'|=B'L.
Таким образом, прямоугольные треугольники OKC'
и OLB'
равны по двум катетам. Следовательно, OK=OL
. Что и требовалось доказать.