10362. Дан остроугольный треугольник ABC
. Прямая, параллельная BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и P
соответственно. При каком расположении точек M
и P
радиус окружности, описанной около треугольника BMP
, будет наименьшим?
Ответ. Отрезок BP
— высота треугольника ABC
.
Решение. Пусть \angle ABC=\beta
, а радиус описанной окружности треугольника BMP
равен R
. Тогда по теореме синусов (см. задачу 23)
R=\frac{BP}{2\sin\angle BMP}=\frac{BP}{2\sin(180^{\circ}-\beta)}=\frac{BP}{2\sin\beta}.
Поскольку \beta
— фиксированная величина, наименьшее R
достигается в случае, когда BP
минимально, т. е. BP\perp AC
.