10379. Внутри окружности зафиксирована точка P
, C
— произвольная точка окружности, AB
— хорда, проходящая через точку P
и перпендикулярная отрезку PC
. Точки X
и Y
являются проекциями точки P
на прямые AC
и BC
. Докажите, что все прямые XY
касаются одной и той же окружности.
Решение. Для того, чтобы доказать утверждение задачи достаточно доказать, что расстояние от точки P
до прямой XY
не зависит от выбора точки C
. Выразим это расстояние через радиус R
окружности и произведение отрезков хорд, проходящих через точку P
. И то и другое для данной конструкции постоянно (см. задачу 2627).
Первый способ. Пусть PQ
— перпендикуляр к отрезку XY
(рис. 1). Четырёхугольник PXCY
— вписанный, поэтому \angle ACP=\angle PYX
. Из прямоугольного треугольника PQY
получим, что
PQ=PY\sin\angle PYX=PY\sin\angle ACP.
Кроме того, из прямоугольных треугольников ACP
и PBY
получим, что
\sin\angle ACP=\frac{AP}{AC},~PY=PB\sin\angle ABC.
Следовательно, PQ=\frac{AP\cdot PB\sin\angle ABC}{AC}
. Также, по следствию теоремы синусов из треугольника ABC
получим, что \frac{\sin\angle ABC}{AC}=\frac{1}{2R}
, откуда PQ=\frac{AP\cdot PB}{2R}
.
Второй способ. Пусть PQ
— высота треугольника PXY
, R
— радиус данной окружности. Треугольник PXY
вписан в окружность с диаметром PC
(рис. 2), поэтому XY=CP\sin\angle XPY
. Значит,
d=PQ=\frac{2S_{PXY}}{XY}=\frac{PX\cdot PY\sin\angle XPY}{XY}=\frac{PX\cdot PY\sin\angle XPY}{CP\sin\angle XPY}=\frac{PX\cdot PY}{PC}.
Из прямоугольных треугольников PCA
и PCB
получим, что
PX=\frac{PA\cdot PC}{AC},~PY=\frac{PB\cdot PC}{BC}.
Кроме того,
PC=\frac{2S_{ABC}}{AB}=\frac{AC\cdot BC\sin\angle ACB}{AB}.
Следовательно,
PQ=\frac{PX\cdot PY}{PC}=\frac{\frac{PA\cdot PC}{AC}\cdot\frac{PB\cdot PC}{BC}}{PC}=\frac{PA\cdot PB\cdot PC}{AC\cdot BC}=
=\frac{PA\cdot PB}{AC}\cdot\frac{PC}{BC}=\frac{PA\cdot PB}{AC}\cdot\sin\angle ABC=\frac{PA\cdot PB}{\frac{AC}{\sin\angle ABC}}=\frac{PA\cdot PB}{2R},
т. е. XY
касается окружности с центром P
и радиусом d
.
Примечание. Ту же самую задачу можно было сформулировать и по-другому: рассмотрим вписанный четырёхугольник ABCD
, диагонали которого пересекаются под прямым углом в фиксированной точке P
. Опустим из точки P
перпендикуляры PX
, PY
, PZ
и PW
на его стороны. Тогда четырёхугольник XYZW
— описан около окружности с центром в точке P
(рис. 3). При этом радиус окружности не зависит от выбора исходного четырёхугольника ABCD
.