10392. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
взяты точки M
и K
соответственно так, что S_{\triangle KMC}+S_{\triangle KAC}=S_{\triangle ABC}
. Докажите, что все такие прямые MK
проходят через одну точку.
Решение. Заметим, что
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABK}+S_{\triangle KAC},~\mbox{или}~S_{\triangle KMC}+S_{\triangle KAC}=S_{\triangle ABK}+S_{\triangle KAC},
поэтому S_{\triangle KMC}=S_{\triangle ABK}
.
Пусть h_{A}
и h_{M}
— высоты треугольников KMC
и BAK
, опущенные из точек A
и M
соответственно. Тогда BK\cdot h_{A}=CK\cdot h_{B}
, или \frac{BK}{CK}=\frac{h_{M}}{h_{A}}
. Кроме того, из подобия следует, что \frac{BM}{BA}=\frac{h_{M}}{h_{A}}
.
Пусть K'
— точка симметричная K
относительно середины стороны BC
. Тогда CK=BK'
и
\frac{BM}{BA}=\frac{h_{M}}{h_{A}}=\frac{BK}{CK}=\frac{BK}{BK'},
что означает параллельность прямых MK
и AK'
. Данные прямые симметричны относительно середины стороны BC
, поэтому прямая MK
проходит через точку A'
, симметричную A
относительно середины стороны BC
.