10396. В равнобедренном треугольнике ABC
на боковой стороне BC
отмечена точка M
так, что отрезок CM
равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне AB
отмечена точка K
так, что угол KMC
— прямой. Найдите угол ACK
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Проведём высоту CL
(рис. 1). Треугольник ABC
равнобедренный, поэтому CL=CM
. Значит, прямоугольные треугольники CLK
и CMK
равны по гипотенузе и катету. Тогда CK
— биссектриса угла LCM
.
Пусть \angle BAC=\angle BCA=\alpha
. Тогда
\angle LCA=90^{\circ}-\alpha,~\angle LCB=\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=2\alpha-90^{\circ}.
Следовательно,
\angle ACK=\angle ACL+\angle LCK=90^{\circ}-\alpha+\frac{1}{2}(2\alpha-90^{\circ})=45^{\circ}.
Второй способ. Рассмотрим квадрат NXMC
(рис. 2). Заметим, что XC
— биссектриса угла AXK
. Кроме того,
\angle NAC=\angle ACM=\angle CAB,
следовательно, AC
— биссектриса \angle NAK
. Таким образом, C
— центр вневписанной окружности треугольника AXK
, поэтому KC
— биссектриса угла AKM
, откуда (см. задачу 4770)
\angle ACK=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle AXK=45^{\circ}.