10402. В выпуклом пятиугольнике PQRST
угол PRT
в два раза меньше, чем угол QRS
, а все стороны равны. Найдите угол PRT
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Из условия задачи следует, что
\angle PRQ+\angle TRS=\angle PRT.\eqno(*)
Первый способ. Используем метод «свёртывания». Симметрично отразим треугольник PQR
относительно прямой PR
, а треугольник TSR
— относительно прямой TR
(рис. 1). Из равенства (*)
и равенства RQ=RS
следует, что образами точек Q
и S
является одна и та же точка O
. Заметим, что треугольник TOP
равносторонний. Кроме того, OR=OP=OT
. Следовательно, O
— центр описанной окружности треугольника PRT
. Тогда
\angle PRT=\frac{1}{2}\angle POT=30^{\circ}.
Второй способ. Докажем, что QPTS
— параллелограмм (рис. 2). Действительно, используя равенство углов при основаниях в равнобедренных треугольниках PQR
и RST
и равенство (*)
, получим, что
\angle QPT+\angle PTS=\angle QPR+\angle RPT+\angle RTP+\angle STR=
=\angle PRQ+\angle TRS+(180^{\circ}-\angle PRT)=180^{\circ}.
Таким образом, PQ\parallel ST
и PQ=ST
(по условию). Значит, QPTS
— параллелограмм. Тогда QS=PT
, поэтому треугольник QRS
равносторонний. Следовательно,
\angle PRT=\frac{1}{2}\angle QRS=30^{\circ}.