10415. Верно ли, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри треугольника, образованного средними линиями данного?
Ответ. Да, верно.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, длины сторон которого равны a
, b
и c
.
Первый способ. Пусть точка I
не лежит внутри треугольника, образованного средними линиями треугольника ABC
. Тогда расстояние от I
до одной из сторон не меньше, чем половина высоты, проведённой к этой стороне. Это расстояние равно радиусу вписанной окружности, поэтому диаметр этой окружности не меньше высоты. Но это невозможно, так как тогда вписанная окружность должна иметь общую точку с прямой m
, параллельной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину (рис. 1).
(Получить противоречие можно по-другому, используя формулы для вычисления площади S
треугольника. Если
r\geqslant\frac{h_{a}}{2}=\frac{S}{a},
то (см. задачу 452)
\frac{2S}{a+b+c}\geqslant\frac{S}{a}~\Leftrightarrow~2a\geqslant a+b+c~\Leftrightarrow~a\geqslant b+c,
что противоречит неравенству треугольника.)
Второй способ. Поскольку I
— точка пересечения биссектрис AA'
и BB'
треугольника ABC
(рис. 2), то (см. задачу 2906)
\frac{AI}{A'I}=\frac{b+c}{a}\gt1.
Таким образом, точка I
лежит между стороной BC
и параллельной ей средней линией.
Проведя аналогичные рассуждения для двух других сторон данного треугольника, получим, что I
лежит внутри треугольника, образованного средними линиями.