10419. Циркулем и линейкой разбейте данный треугольник на два меньших треугольника с одинаковой суммой квадратов сторон.
Решение. Пусть B
и C
— острые углы треугольника. Тогда высота AH
попадёт на сторону BC
, а не на её продолжение (см. задачу 127). Построим на BC
такую точку D
, чтобы BD=CH
. Тогда и CD=BH
. Треугольники ABD
и ACD
— искомые.
Действительно, по теореме Пифагора
AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2},
поэтому
AB^{2}+CH^{2}=AC^{2}+BH^{2},
а так как CH=BD
и BH=CD
, то
AB^{2}+BD^{2}=AC^{2}+CD^{2}.
Прибавив к обеим частям последнего равенства слагаемое AD^{2}
, получим равенство сумм квадратов сторон для указанных треугольников.