10420. Биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
прямоугольного треугольника ABC
(\angle B=90^{\circ}
) пересекаются в точке I
. Прямая, проходящая через точку C_{1}
и перпендикулярная прямой AA_1
, пересекает прямую, проходящую через A_{1}
и перпендикулярную CC_{1}
, в точке K
. Докажите, что середина отрезка KI
лежит на отрезке AC
.
Решение. Заметим, что
\angle AIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle B=135^{\circ},~\angle AIC_{1}=180^{\circ}-\angle AIC=45^{\circ}
(см. задачу 4770). Пусть данные прямые пересекают сторону AC
в точках M
и N
соответственно. Докажем, что MINK
— параллелограмм. Отсюда будет следовать утверждение задачи.
Заметим, что треугольник C_{1}AM
равнобедренный (биссектриса совпадает с высотой). Тогда треугольник C_{1}IM
— также равнобедренный с основанием C_{1}M
. Но \angle AIC_{1}=45^\circ
, значит, \angle CIM=90^{\circ}
. Следовательно, прямые MI
и KA_{1}
параллельны. Аналогично, NI\parallel C_{1}K
, значит, MINK
— параллелограмм. Что и требовалось доказать.