10440. В треугольнике ABC
на сторонах AC
, BC
и AB
отметили точки соответственно D
, E
и F
так, что AD=AB
, EC=DC
, BF=BE
. После этого стёрли всё, кроме точек E
, F
и D
. Восстановите треугольник ABC
(исследование проводить не требуется).
Решение. Заметим, что серединные перпендикуляры к отрезкам DE
и EF
содержат биссектрисы треугольника ABC
. Следовательно, центр I
описанной окружности треугольника DEF
совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC
.
Поскольку AD=AB
и AI
— биссектриса угла A
треугольника ABC
, то треугольники ADI
и ABI
равны. Следовательно, DI=BI
. Значит, точка B
лежит на описанной окружности треугольника DEF
.
Отсюда вытекает следующее построение.
1) Находим I
как точку пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам DE
и EF
.
2) Находим B
как точку пересечения серединного перпендикуляра к отрезку EF
и окружности, описанной около треугольника DEF
.
3) Находим A
как точку пересечения серединного перпендикуляра к BD
и прямой BF
.
4) находим C
как точку пересечения прямых AD
и BE
.
Примечание. Также можно было использовать, что четырёхугольник ADIF
вписанный.