10446. Прямая l
перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l
в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке 1. Пусть прямая l
перпендикулярна медиане BM
, а серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекают l
в точках X
, Y
и Z
(рис. 1). Точки K
, M
, L
— середины сторон треугольника, O
— центр описанной окружности, N
— точка пересечения прямых l
и BM
.
Используя перпендикулярность прямых, получим, что
\angle XOY=\angle BAC,~\angle YOZ=\angle BCA,~\angle OXZ=\angle ABM,~\angle OZX=\angle CBM.
Дальше можно рассуждать различными способами.
Первый способ. Треугольники YOX
и MAB
подобны, поэтому \frac{YX}{MB}=\frac{YO}{MA}
. Треугольники YOZ
и MCB
также подобны, поэтому \frac{YZ}{MB}=\frac{YO}{MC}
. Поскольку MA=MC
, то YX=YZ
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. На продолжении медианы BM
за точку M
отложим отрезок MD=BM
(рис. 2). Тогда треугольники BAD
и XOZ
подобны. Поскольку AM
— медиана треугольника BAD
и \angle BAM=\angle XOY
, то OY
— медиана треугольника XOZ
. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение задачи верно для произвольной тройки прямых, перпендикулярных сторонам треугольника и пересекающихся в одной точке.