10450. В шестиугольнике равны углы, три главные диагонали (соединяющие противоположные вершины) равны между собой и шесть остальных диагоналей также равны между собой. Верно ли, что у него равны стороны?
Ответ. Нет, неверно.
Решение. Рассмотрим шестиугольник ABCDEF
с равными углами, у которого стороны равны через одну, а соседние — не равны Построить его можно, отрезав от равностороннего треугольника, три меньших равных равносторонних треугольника (при этом равные стороны BC
, DE
и AF
не равны BC
). Тогда в полученном шестиугольнике углы равны, стороны равны через одну, а противолежащие стороны параллельны.
Докажем, что он удовлетворяет условию. Действительно, малые диагонали равны из равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, например, треугольник ABC
равен треугольнику FED
. Равенство главных диагоналей, например, AD
и CF
, следует из того, что четырёхугольник ACDF
— равнобокая трапеция.
Примечание. Рассмотренный нами шестиугольник называется полуправильным равноугольным.