10453. Точки I_{A}
, I_{B}
, I_{C}
— центры вневписанных окружностей треугольника ABC
, касающихся сторон BC
, AC
и AB
соответственно. Перпендикуляр из I_{A}
на AC
пересекает перпендикуляр из I_{B}
на BC
в точке X_{C}
. Аналогично определяются точки X_{A}
и X_{B}
. Докажите, что прямые I_{A}X_{A}
, I_{B}X_{B}
и I_{C}X_{C}
пересекаются в одной точке.
Решение. Будем пользоваться следующими известными фактами.
1. Биссектрисы треугольника являются высотами треугольника, образованного центрами его вневписанных окружностей (см. задачу 4769).
2. Прямые, проходящие через вершины треугольника перпендикулярно соответствующим сторонам его ортотреугольника, пересекаются в центре описанной окружности данного треугольника (см. задачу 480).
3. Расстояние от вершины треугольника до его ортоцентра в два раза больше, чем расстояние от центра описанной окружности до середины противолежащей стороны (см. задачу 1257).
Центры вневписанных окружностей равноудалены от прямых, содержащих стороны треугольника, поэтому прямая I_{A}X_{C}
симметрична прямой, проходящей через I_{A}
и перпендикулярной BC
относительно прямой I_{A}I_{B}
. Аналогично рассматривается симметрия прямой I_{B}X_{C}
относительно прямой I_{A}I_{B}
. Значит, точка X_{C}
симметрична точке пересечения перпендикуляров к сторонам BC
и AC
треугольника, проведённых из точек I_{A}
и I_{B}
соответственно, относительно прямой I_{A}I_{B}
. Аналогично для точек X_{A}
и X_{B}
.
Заметим, что треугольник ABC
является ортотреугольником треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
(факт 1). Тогда перпендикуляры, проведённые из вершин I_{A}
, I_{B}
и I_{C}
треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
к прямым BC
, AC
и AB
соответственно пересекаются в центре окружности, описанной около треугольника I_{A}I_{B}I_{C}
(факт 2).
Сменив обозначения на более привычные, получим, что задача сводится к доказательству следующего факта.
В треугольнике ABC
точка O
— центр описанной окружности, точка X_{C}
симметрична O
относительно стороны AB
. Аналогично определяются точки X_{A}
и X_{B}
. Тогда прямые AX_{A}
, BX_{B}
и CX_{C}
пересекаются в одной точке.
Докажем, что, например, CX_{C}
проходит через середину отрезка OH
, где H
— ортоцентр треугольника ABC
(рис. 2).
Действительно, учитывая факт 3, получим, что CX_{C}
является диагональю параллелограмма COX_{C}H
, а значит, проходит через середину отрезка OH
. Для двух других прямых доказательство аналогично.
Следовательно, AX_{A}
, BX_{B}
, CX_{C}
, т. е. прямые I_{A}X_{A}
, I_{B}X_{B}
, I_{C}X_{C}
из условия задачи пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.