10463. На плоскости дан неравнобедренный треугольник, описанная около него окружность и отмечен центр его вписанной окружности. Пользуясь только линейкой без делений и проведя не больше семи линий, постройте диаметр описанной окружности.
Решение. Пусть биссектрисы AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
треугольника ABC
пересекаются в точке I
, а биссектриса внешнего угла при вершине B
пересекает прямую AC
в точке L
.
Заметим, что точки A_{1}
, C_{1}
и L
лежат на одной прямой (см. задачу 1639). Кроме того, биссектриса BB_{1}
делит дугу AC
, не содержащую точки B
, пополам (см. задачу 430), а BL
и BB_{1}
перпендикулярны (см. задачу 937).
Отсюда вытекает способ построения.
1) Строим биссектрисы AA_{1}
и CC_{1}
(первая и вторая линии).
2) Строим точку W
как пересечение BI
с окружностью (третья линия).
3) Строим точку L
как пересечение прямых A_{1}C_{1}
и AC
(четвёртая и пятая линии).
4) Строим точку K
как пересечение BL
с окружностью (шестая линия).
5) Проводим KW
(седьмая линия).
Угол KBW
— прямой, поэтому KW
— диаметр описанной окружности. Что и требовалось.